Finanzas cuantitativas
Ecuaciones diferenciales estocásticas y ecuaciones diferenciales parciales aplicadas a la modelación financiera
En el libro se presentan algunos de los elementos teóricos necesarios para el análisis cuantitativo de problemas financieros de interés, particularmente aquellos relacionados con la modelación de variables financieras mediante ecuaciones diferenciales estocásticas de tipo difusión, y su relación con ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden. Se muestran resultados relacionados con el problema de la valoración de activos contingentes en el contexto de modelos de mercado más generales que el clásico Black-Scholes. Las aplicaciones financieras incluyen modelos de mercado en tiempos discreto y continuo, en los que se considera el problema de la valoración de activos contingentes y el desarrollo de estrategias de cobertura. También se presentan modelos de volatilidad local y volatilidad estocástica, y se aportan detalles poco frecuentes en la literatura, como es el caso de los modelos de volatilidad local de Dupire o el de volatilidad estocástica de Scott, entre otros. Se abordan modelos de mercado en donde los precios de los activos siguen procesos de difusión con saltos, en particular, se analiza el modelo de Merton que considera saltos que siguen una distribución lognormal. Finalmente, se presenta la teoría necesaria para tratar un conjunto de problemas financieros relacionados con ecuaciones diferenciales parciales no lineales, que incluyen problemas de control óptimo, modelos de mercado con volatilidad incierta, modelos con costos de transacción, valoración de activos contingentes en mercados con tasas diferenciales para inversión o préstamo, o valoración de opciones exóticas.
The book presents some of the theoretical elements necessary for the quantitative analysis of financial problems of interest, particularly those related to the modeling of financial variables through stochastic diffusion differential equations, and their relationship with second-order partial differential equations. Results related to the problem of contingent asset valuation in the context of market models more general than the classic Black-Scholes are shown. Financial applications include market models in discrete and continuous time, considering the problem of contingent asset valuation and the development of hedging strategies. Local volatility and stochastic volatility models are also presented, providing details that are infrequent in the literature, such as Dupire's local volatility models or Scott's stochastic volatility models, among others. Market models where asset prices follow jump-diffusion processes are addressed, particularly analyzing the Merton model that considers jumps following a lognormal distribution. Finally, the necessary theory is presented to deal with a set of financial problems related to nonlinear partial differential equations, including optimal control problems, market models with uncertain volatility, models with transaction costs, contingent asset valuation in markets with differential rates for investment or borrowing, or valuation of exotic options.
Índice
1 TEORÍA DE PROBABILIDAD
1.1 Espacio de probabilidad
1.2 Probabilidad condicional e independencia
1.3 Funciones medibles y variables aleatorias
1.3.1 Esperanza, varianza, función generadora de momentos y función característica
1.3.2 Algunas distribuciones de probabilidad
1.3.3 Distribución conjunta e independencia
1.3.4 Esperanza condicional
1.3.5 Desigualdades de variables aleatorias
1.3.6 Convergencia estocástica
1.4 Ejercicios
2 PROCESOS ESTOCÁSTICOS
2.1 Caminata aleatoria y procesos binomiales
2.2 Movimiento Browniano
2.3 Martingalas
2.3.1 Incrementos del movimiento Browniano
2.4 Procesos asociados al movimiento Browniano
2.4.1 Movimiento Browniano con tendencia
2.4.2 Movimiento Browniano geométrico
2.4.3 Puente Browniano
2.4.4 Movimiento Browniano integrado
2.5 Proceso Poisson
2.5.1 Tiempo entre ocurrencias
2.5.2 Proceso Poisson integrado
2.6 Variación cuadrática
2.7 Ejercicios
3 INTEGRAL ESTOCÁSTICA Y FÓRMULA DE ITÓ
3.1 La integral de Itó
3.1.1 Propiedades de la integral de Itó
3.1.2 Integración respecto a un proceso Poisson compensado
3.2 Diferenciación estocástica: lema de Itó
3.2.1 Lema de Itó para el movimiento Browniano
3.2.2 Lema de Itó para difusiones de Itó
3.3 Lema de Itó multidimensional
3.4 Lema de Itó para procesos Poisson
3.5 Lema de lió para procesos de difusión con saltos Poisson
3.6 Integración estocástica por partes
3.7 Teorema de representación martingala
3.8 Teorema de Girsanov
3.9 Ejercicios
4 ECUACIONES DIFERENCIALES ESTOCÁSTICAS
4.1 Ecuaciones tipo difusión
4.1.1 Clasificación de una EDE
4.2 Método de integración directa
4.3 Ecuaciones exactas - Coeficientes de Itó
4.4 EDE débilmente lineales y factores integrantes
4.5 Variación de parámetros
4.6 El valor esperado y la varianza del proceso
4.7 Ejercicios
5 ECUACIONES DIFERENCIALES ESTOCÁSTICAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
5.1 Generador de un proceso de Itó
5.2 Teorema de Feynman-Kac
5.3 Ecuaciones de Kolmogorov
5.4 Ejercicios
6 MÉTODOS NUMÉRICOS Y ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS
6.1 Orden de convergencia
6.1.1 Convergencia fuerte
6.1.2 Convergencia débil
6.2 Simulación de las trayectorias de Wt
6.3 Simulación de la solución de una EDE
6.3.1 Simulación a partir de la solución-Exacta-
6.3.2 Método de Euler-Maruyama
6.3.3 Aproximación de Milstein
6.3.4 Método predictor-corrector
6.4 Estimación de parámetros en EDE
6.4.1 Estimación por máxima verosimilitud
6.4.2 Estimación por mínimos cuadrados ordinarios
6.4.3 Métodos de seudoverosimilitud 165
7 APLICACIONES FINANCIERAS I (MODELOS DISCRETOS)
7.1 Modelo de mercado de un periodo
7.1.1 Portafolios y arbitraje
7.1.2 Activos contingentes y valoración
7.2 Modelo de mercado en múltiples periodos
7.2.1 Portafolios y arbitraje
7.2.2 Activos contingentes y valoración
7.2.3 Algoritmo binomial
7.3 Modelo de mercado con múltiples estados
7.3.1 Ausencia de arbitraje
7.3.2 Medidas martingala equivalentes y valoración
7.3.3 Valoración martingala
7.3.4 Completitud
7.3.5 Factor estocástico de descuento
7.4 Ejercicios
8 APLICACIONES FINANCIERAS II (MODELOS CONTINUOS)
8.1 Modelo Black-Scholes
8.1.1 Activos contingentes y arbitraje
8.1.2 La EDP de Black-Scholes
8.2 Valoración riesgo neutral
8.2.1 La fórmula Black-Scholes
8.3 Completitud
8.4 Relaciones de paridad y griegas
8.4.1 Griegas
8.4.2 Coberturas delta y gamma
8.5 Ejercicios
9 APLICACIONES FINANCIERAS III (MODELOS DE VOLATILIDAD LOCAL Y VOLATILIDAD ESTOCÁSTICA)
9.1 Modelos de volatilidad local
9.1.1 Modelos con elasticidad constante de la varianza (CEV)
9.1.2 Modelo de Dupire
9.2 Modelos de volatilidad estocástica
9.2.1 Modelo Hull-White
9.2.2 Modelo Alfa-Beta-Rho estocástico (SABR)
9.2.3 Modelo de Scott
9.2.4 Modelo de Stein y Stein
9.2.5 Modelo Heston
9.2.6 Algunas observaciones sobre los procesos OU y CIR
9.3 Ejercicios
10 APLICACIONES FINANCIERAS IV (MODELO DE DIFUSIÓN CON SALTOS)
10.1 Modelo Merton
10.1.1 Proceso Poisson compuesto
10.1.2 Derivación del modelo
10.1.3 Distribución de los retornos
10.1.4 Valoración de derivados
11 APLICACIONES FINANCIERAS V (PROBLEMAS NO LINEALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES ESTOCÁSTICAS HACIA ATRÁS)
11.1 Ecuaciones diferenciales parciales no lineales de segundo orden
11.1.1 EDP parabólicas
11.1.2 Principio de comparación y unicidad
11.1.3 Supersoluciones, subsoluciones y principio de comparación
11.2 Control óptimo estocástico y la EDP de Hamilton-Jacobi-Bellman
11.2.1 Principio de Bellman
11.2.2 La EDP de HJB
11.2.3 Teorema de verificación
11.3 Soluciones viscosas
11.3.1 Teorema de Feynman-Kac en sentido viscoso
11.4 Algunos problemas no lineales en finanzas
11.4.1 Modelo con volatilidad incierta
11.4.2 Modelo con costos de transacción
11.4.3 Tasas de interés diferenciales para inversión o préstamo
11.4.4 Opciones pasaporte
BIBLIOGRAFÍA
Impreso
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John Freddy Moreno Trujillo
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Información de autor disponible próximamente.
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Facultad
Categoría
PALABRAS CLAVE
Finanzas cuantitativas / análisis cuantitativo / modelación financiera / matemáticas financieras /
