Finanzas cuantitativas

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Ecuaciones diferenciales estocásticas y ecuaciones diferenciales parciales aplicadas a la modelación financiera

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En el libro se presentan algunos de los elementos teóricos necesarios para el análisis cuantitativo de problemas financieros de interés, particularmente aquellos relacionados con la modelación de variables financieras mediante ecuaciones diferenciales estocásticas de tipo difusión, y su relación con ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden. Se muestran resultados relacionados con el problema de la valoración de activos contingentes en el contexto de modelos de mercado más generales que el clásico Black-Scholes. Las aplicaciones financieras incluyen modelos de mercado en tiempos discreto y continuo, en los que se considera el problema de la valoración de activos contingentes y el desarrollo de estrategias de cobertura. También se presentan modelos de volatilidad local y volatilidad estocástica, y se aportan detalles poco frecuentes en la literatura, como es el caso de los modelos de volatilidad local de Dupire o el de volatilidad estocástica de Scott, entre otros. Se abordan modelos de mercado en donde los precios de los activos siguen procesos de difusión con saltos, en particular, se analiza el modelo de Merton que considera saltos que siguen una distribución lognormal. Finalmente, se presenta la teoría necesaria para tratar un conjunto de problemas financieros relacionados con ecuaciones diferenciales parciales no lineales, que incluyen problemas de control óptimo, modelos de mercado con volatilidad incierta, modelos con costos de transacción, valoración de activos contingentes en mercados con tasas diferenciales para inversión o préstamo, o valoración de opciones exóticas.

Índice

1 TEORÍA DE PROBABILIDAD

1.1 Espacio de probabilidad

1.2 Probabilidad condicional e independencia

1.3 Funciones medibles y variables aleatorias

1.3.1 Esperanza, varianza, función generadora de momentos y función característica

1.3.2 Algunas distribuciones de probabilidad

1.3.3 Distribución conjunta e independencia

1.3.4 Esperanza condicional

1.3.5 Desigualdades de variables aleatorias

1.3.6 Convergencia estocástica

1.4 Ejercicios

2 PROCESOS ESTOCÁSTICOS

2.1 Caminata aleatoria y procesos binomiales

2.2 Movimiento Browniano

2.3 Martingalas

2.3.1 Incrementos del movimiento Browniano

2.4 Procesos asociados al movimiento Browniano

2.4.1 Movimiento Browniano con tendencia

2.4.2 Movimiento Browniano geométrico

2.4.3 Puente Browniano

2.4.4 Movimiento Browniano integrado

2.5 Proceso Poisson

2.5.1 Tiempo entre ocurrencias

2.5.2 Proceso Poisson integrado

2.6 Variación cuadrática

2.7 Ejercicios  

3 INTEGRAL ESTOCÁSTICA Y FÓRMULA DE ITÓ

3.1 La integral de Itó

3.1.1 Propiedades de la integral de Itó

3.1.2 Integración respecto a un proceso Poisson compensado

3.2 Diferenciación estocástica: lema de Itó

3.2.1 Lema de Itó para el movimiento Browniano

3.2.2 Lema de Itó para difusiones de Itó

3.3 Lema de Itó multidimensional

3.4 Lema de Itó para procesos Poisson

3.5 Lema de lió para procesos de difusión con saltos Poisson

3.6 Integración estocástica por partes

3.7 Teorema de representación martingala

3.8 Teorema de Girsanov

3.9 Ejercicios  

4 ECUACIONES DIFERENCIALES ESTOCÁSTICAS

4.1 Ecuaciones tipo difusión

4.1.1 Clasificación de una EDE

4.2 Método de integración directa

4.3 Ecuaciones exactas - Coeficientes de Itó

4.4 EDE débilmente lineales y factores integrantes

4.5 Variación de parámetros

4.6 El valor esperado y la varianza del proceso

4.7 Ejercicios 

5 ECUACIONES DIFERENCIALES ESTOCÁSTICAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

5.1 Generador de un proceso de Itó

5.2 Teorema de Feynman-Kac

5.3 Ecuaciones de Kolmogorov

5.4 Ejercicios

6 MÉTODOS NUMÉRICOS Y ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS

6.1 Orden de convergencia

6.1.1 Convergencia fuerte

6.1.2 Convergencia débil

6.2 Simulación de las trayectorias de Wt

6.3 Simulación de la solución de una EDE

6.3.1 Simulación a partir de la solución-Exacta-

6.3.2 Método de Euler-Maruyama

6.3.3 Aproximación de Milstein

6.3.4 Método predictor-corrector

6.4 Estimación de parámetros en EDE

6.4.1 Estimación por máxima verosimilitud

6.4.2 Estimación por mínimos cuadrados ordinarios

6.4.3 Métodos de seudoverosimilitud   165

7 APLICACIONES FINANCIERAS I (MODELOS DISCRETOS)

7.1 Modelo de mercado de un periodo

7.1.1 Portafolios y arbitraje

7.1.2 Activos contingentes y valoración

7.2 Modelo de mercado en múltiples periodos

7.2.1 Portafolios y arbitraje

7.2.2 Activos contingentes y valoración

7.2.3 Algoritmo binomial

7.3 Modelo de mercado con múltiples estados

7.3.1 Ausencia de arbitraje

7.3.2 Medidas martingala equivalentes y valoración

7.3.3 Valoración martingala

7.3.4 Completitud

7.3.5 Factor estocástico de descuento

7.4 Ejercicios

8 APLICACIONES FINANCIERAS II (MODELOS CONTINUOS)

8.1 Modelo Black-Scholes

8.1.1 Activos contingentes y arbitraje

8.1.2 La EDP de Black-Scholes

8.2 Valoración riesgo neutral

8.2.1 La fórmula Black-Scholes

8.3 Completitud

8.4 Relaciones de paridad y griegas

8.4.1 Griegas

8.4.2 Coberturas delta y gamma

8.5 Ejercicios

9 APLICACIONES FINANCIERAS III (MODELOS DE VOLATILIDAD LOCAL Y VOLATILIDAD ESTOCÁSTICA)

9.1 Modelos de volatilidad local

9.1.1 Modelos con elasticidad constante de la varianza (CEV)

9.1.2 Modelo de Dupire

9.2 Modelos de volatilidad estocástica

9.2.1 Modelo Hull-White

9.2.2 Modelo Alfa-Beta-Rho estocástico (SABR)

9.2.3 Modelo de Scott

9.2.4 Modelo de Stein y Stein

9.2.5 Modelo Heston

9.2.6 Algunas observaciones sobre los procesos OU y CIR

9.3 Ejercicios

10 APLICACIONES FINANCIERAS IV (MODELO DE DIFUSIÓN CON SALTOS)

10.1 Modelo Merton

10.1.1 Proceso Poisson compuesto

10.1.2 Derivación del modelo

10.1.3 Distribución de los retornos

10.1.4 Valoración de derivados

11 APLICACIONES FINANCIERAS V (PROBLEMAS NO LINEALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES ESTOCÁSTICAS HACIA ATRÁS)

11.1 Ecuaciones diferenciales parciales no lineales de segundo orden

11.1.1 EDP parabólicas

11.1.2 Principio de comparación y unicidad

11.1.3 Supersoluciones, subsoluciones y principio de comparación

11.2 Control óptimo estocástico y la EDP de Hamilton-Jacobi-Bellman

11.2.1 Principio de Bellman

11.2.2 La EDP de HJB

11.2.3 Teorema de verificación

11.3 Soluciones viscosas

11.3.1 Teorema de Feynman-Kac en sentido viscoso

11.4 Algunos problemas no lineales en finanzas

11.4.1 Modelo con volatilidad incierta

11.4.2 Modelo con costos de transacción

11.4.3 Tasas de interés diferenciales para inversión o préstamo

11.4.4 Opciones pasaporte

                                                                                                                                                                                                                                                                  BIBLIOGRAFÍA

BUS017000 NEGOCIOS ECONÓMICOS > Finanzas corporativas > General
BUS017000 Economía, finanzas, empresa y gestión > Finanzas y contabilidad > Finanzas > Gestión financiera de las sociedades
  1. Nombre
    • John Freddy Moreno Trujillo


    • Información de autor disponible próximamente.


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